Предыстория: в неприватизированной бабушкиной квартире был прописан ее сын который стал ответственным квартиросъемщиком после ее смерти. Сын был давно разведен и не поддерживал отношений со своей бывшей женой и детьми. Фактически был одинок. Разговоры о том чтобы приватизировать квартиру и прописать кого-нибудь там (например, сестру) дабы ее потом не потерять, ни к чему не привели. Не так давно сын преставился. Квартира, являясь муниципальной собственностью, отходит, так сказать, государству.

Квартира (по сути барак, аварийное жилье, но не суть) очень дорога как память, в ней выросла моя мама и прошло мое детство с бабушкой. Возможно ли как-то ее сохранить? Может выкупить ее у государства? Понятно, что никто из родственников теперь не имеет на нее права. Но может можно что-то сделать?

Боюсь, сделать ничего нельзя.
Тем более, если это аварийное жилье, даже приватизировать его не получилось бы. Единственный шанс оставить квартиру за собой - был, там прописаться. А раз не прописались, то все.